Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且点 在该椭圆上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆相交于A，B两点，若△AOB的面积为 ，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意， ，

∴a=2，b= ，c=1，

∴椭圆C的方程为

（2）解：当直线l⊥x轴时，△AOB的面积为 ，不符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0

代入椭圆方程，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0联立，韦达定理，△＞0显然成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=﹣ ，x1x2=

∴

∴ ，即17k4+k2﹣18=0，k2=1

∴ ，∴圆的方程为

【解析】（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2 ， 求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．（2）先看当l与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），进而求得x1+x2和x1x2的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．