Question

8．如图，BC是圆O的直径，点F在弧$\widehat{BC}$上，点A为弧$\widehat{BF}$的中点，做AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．
（Ⅰ）证明：AE=BE
（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：∠ABF=∠BAD，即可证明AE=BE
（Ⅱ）由△ABG∽△ACB，求出AB，直角△ABC中由勾股定理知BC，即可求圆O的半径．

解答 证明：（Ⅰ）连接AB，∵点A为弧$\widehat{BF}$的中点，
∴$\widehat{BA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠ACB…（2分）
又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，…（4分）
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE       …（5分）
（Ⅱ）由△ABG∽△ACB知AB²=AG•AC=2×9
∴AB=3$\sqrt{2}$                                   …（8分）
直角△ABC中由勾股定理知BC=3$\sqrt{11}$            …（9分）
∴圆的半径为$\frac{3\sqrt{11}}{2}$                                …（10分）

点评 本题考查圆的直径的性质，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．