Question

【题目】已知函数f（x）=x2+|x|﹣|x﹣5|+2．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若关于x的不等式|f（x）|≤m的整数解仅有11个，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x≤0时，f（x）=x2﹣x+x﹣5+2=x2﹣3，

由x2﹣3＜0解得﹣ ＜x＜ ，取﹣ ＜x≤0；

当0＜x＜5时，f（x）=x2+x+x﹣5+2=x2+2x﹣3，

由x2+2x﹣3＜0解得﹣3＜x＜1，取0＜x＜1；

当x≥5时，f（x）=x2+x﹣x+5+2=x2+7，

由x2+7＜0无解；

综上，不等式f（x）＜0的解集为（﹣ ，1）

（2）解：由（1）知，f（x）= ，

画出f（x）的图象如图所示；

若关于x的不等式|f（x）|≤m的整数解仅有11个，

当m=32时，由x2+7≤32，解得x≤5；

由x2﹣3≤32，解得﹣ ≤x，

满足不等式|f（x）|≤m的整数解仅有11个；

当m=33时，由x2+7≤33，解得x≤ ；

由x2﹣3≤33，解得﹣6≤x，

满足不等式|f（x）|≤m的整数解仅有12个；

不满足题意；

当m=31时，由x2+7≤31，解得x≤ ；

由x2﹣3≤31，解得﹣ ≤x，

满足不等式|f（x）|≤m的整数解仅有10个；

不满足题意；

综上，m的取值范围是[32，33）．

【解析】（1）讨论x的取值，去掉绝对值，化简f（x），求出不等式f（x）＜0的解集；（2）由（1）写出f（x）解析式，画出f（x）的图象，结合图象，求出不等式|f（x）|≤m的整数解仅有11个时，求出m的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．