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【题目】已知f(x)=x( + ),
(1)试判断f(x)的奇偶性,
(2)求证f(x)>0.

【答案】
(1)解:由f(x)=x( + )=x

由2x﹣1≠0,可得x≠0,

则定义域关于原点对称,

f(﹣x)=﹣x =﹣x =x =f(x),

则f(x)为偶函数


(2)证明:当x>0时,2x>1,即2x﹣1>0,2x+1>0,

则f(x)=x( + )>0,

由f(x)为偶函数,即有f(﹣x)=f(x),

则x<0时,f(x)>0成立.

则对于x≠0的任何实数,都有f(x)>0


【解析】(1)求出函数的定义域,再计算f(﹣x),与f(x)比较,即可判断函数的奇偶性;(2)运用指数函数的单调性和f(x)的奇偶性即可证得f(x)>0.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,以及对函数的奇偶性的理解,了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

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