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9.已知数列{an}满足an+1=3an+1,n∈N*,a1=1,bn=an+$\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)证明{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=2n,求数列{cn•bn}的前n项和Sn

分析 (Ⅰ)an+1=3an+1,两边同时加上$\frac{1}{2}$,an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),即可bn+1=3bn,数列{bn}是等比数列,求得b1,根据等比数列通项公式求得bn
(Ⅱ)求出数列{cn}的通项公式,利用错位相减法进行求和即可.

解答 解:(Ⅰ)证明:∵an+1=3an+1,
∴an+1+$\frac{1}{2}$=3an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),
∴bn+1=3bn
b1=a1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$.
{bn}是以$\frac{3}{2}$为首项,以3为公比的等比数列,
{bn}的通项公式bn=$\frac{3}{2}$×3n-1=$\frac{{3}^{n}}{2}$,
(Ⅱ)cn•bn=2n×$\frac{{3}^{n}}{2}$=n•3n
数列{cn•bn}的前n项和Sn,Sn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n
3Sn=1×32+2×33++3×34…+n•3n+1
两式相减得:-2Sn=1×3+32+33+…+3n-n•3n+1
=$\frac{3(1-{3}^{n})}{1-3}$-n•3n+1
=$\frac{(1-2n)×{3}^{n+1}-3}{2}$,
∴Sn=$\frac{(2n-1)×{3}^{n+1}+3}{4}$.

点评 本题主要考查等比数列通项公式的求解,以及利用错位相减法求前n项和,考查学生的运算能力,属于中档题.

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