Question

已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数
（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A
（Ⅱ）设关于x的方程的两实数根为x₁、x₂.
试问:是否存在实数m,使得不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由?

Answer 1

（Ⅰ）      2分
因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f^‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立
即有x²-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。   构造函数g(x)=x²-ax-2
∴满足题意的充要条件是：
所以所求的集合A[-1，1]            (7分)
（Ⅱ）由题意得：得到：x²-ax-2=0         (8分)
因为△=a²+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x₁、x₂由根与系数的关系有：         (9分)
因为a∈A即a∈[-1，1]，所以要使不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当对任意的t∈[-1,1]恒成立           (11分)
构造函数φ（x）=m²+tm-2=mt+(m²-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是
m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为
{m| m≥2或m≤-2}为所求    （14分）

同答案