Question

某人上楼梯，每步上一阶的概率为

2

3

，每步上二阶的概率为

1

3

，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第n阶的概率为P_n．
（Ⅰ）求P₂；
（Ⅱ）该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意得：从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，由互斥事件的概率公式计算可得答案．
（2）该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10．由题意得出ξ的分布列，进而根据公式求出其数学期望．

解答：解：（1）从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，
故概率为P₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

=

7

9

（2）该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10   
ξ的分布列为：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	C 0 5 ( 2 3 )5	C 1 5 1 3 ( 2 3 )4	C 2 5 (  1 3 )2( 2 3 )3	C 3 5 ( 1 3 )3( 2 3 )2	C 4 5 ( 1 3 )4( 2 3 )	C 5 5 ( 1 3 )5

E（ξ）=5×（

2

3

）⁵+6×

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+7×

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+8×

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+9×

C

4 5

(

1

3

)4(

2

3

) +10×

C

5 5

(

1

3

)5=

20

3

．
故该人这5步共上的阶数ξ的数学期望为

20

3

．

点评：解决此类问题的关键是准确把握条件，熟练掌握各种概率的计算公式．