Question

7．已知函数f（x）的值域是$[\frac{3}{8}，\frac{4}{9}]$，则函数y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域为[$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．

Answer 1

分析 为去原函数的根号，可想着设$\sqrt{1-2f（x）}=t$，从而解出f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，并由f（x）的值域能得到t∈$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$．将解出的f（x）带入原函数便可得到y=$-\frac{1}{2}（x-1）^{2}+1$，容易判断该函数在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上单调递增，这样便可得出原函数的值域．

解答 解：令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]；
∴$f（x）=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
该函数的对称轴为t=1；
∴该函数在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上单调递增；
∴t=$\frac{1}{3}$时，该函数取最小值$\frac{7}{9}$，t=$\frac{1}{2}$时，该函数取最大值$\frac{7}{8}$；
∴原函数的值域为[$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．
故答案为：$[\frac{7}{9}，\frac{7}{8}]$．

点评 考查函数值域的概念，换元求函数值域的方法，以及二次函数单调性的判断，根据单调性求函数的值域．