Question

设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S={a+

b

3

|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则{0}⊆S；③封闭集一定是无限集；④若A、B均为封闭集，则满足A⊆M⊆B的任意集合M也是封闭集．其中的真命题是

④

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①根据封闭集的定义验证集合S={a+

b

3

|a，b为整数}不是封闭集；
②通过举出反例，若S为封闭集，不一定{0}⊆S；
③封闭集不一定是无限集；
④若A、B均为封闭集，则满足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封闭集．

解答：解：∵若对任意x，y∈S，都有x+y，xy∈S，则称S为封闭集，
对于①设x=a+

b

3

，y=c+

d

3

，a，b，c，d为整数，xy=ac+

ad

3

+

bc

3

+

bd

9

，若bd=1，则xy∉S，
故S={a+

b

3

|a，b为整数}不是封闭集；故错；
②若S=N^*，则S为封闭集，但{0}?S；故错；
③封闭集不一定是无限集如S={0}是封闭集，是有限集，故错；
④若A、B均为封闭集，则满足A⊆M⊆B的任意集合M一定是封闭集．
综上可知④正确，
故答案为：④

点评：本题考查康托的集合论，本题解题的关键是正确理解封闭集的意义，能够辨别一个集合是不是封闭集．