Question

若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根的概率．

Answer 1

分析：（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整点的个数，进而分析可得点M的纵横坐标的范围，可得M的个数，由古典概型公式，计算可得答案；
（2）是几何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根，则有△=（2p）²-4（-q²+1）≥0，变形可得p²+q²≥1，分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案．

解答：解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P₁=

9

6×6

=

1

4

；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根，则有△=（2p）²-4（-q²+1）≥0，
解可得p²+q²≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36-π，
即方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根的概率，P₂=

36-π

36

．

点评：本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．