Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₃=8，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．（ I）求数列{a_n}的通项公式；（ II）若b_n=log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和，求S₂₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₃=8．故a₂+a₄=20．由此能够推导出a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，由此能求出S₂₀．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，
∵a₃=8．
∴a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ．
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∵b_n=log₂a_n+1，
∴b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴S₂₀=2+3+4+5+…+21
=

20

2

(2+21)
=230．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．