Question

已知曲线C：y²=2x（y≥0），A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），…是曲线C上的点，且满足0＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜…，一列点B_i（a_i，0）（i=1，2，…）在x轴上，且△B_i-1A_iB_i（B₀是坐标原点）是以A_i为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求A₁、B₁的坐标；
（Ⅱ）求数列{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）令bi=

4

ai

，ci=(

2

)-yi，是否存在正整数N，当n≥N时，都有

n

i=1

bi＜

n

i=1

ci，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得直线B₀A₁的方程为y=x．由

y=x y2=2x y＞0

可解得x₁=y₁=2，进而可得A₁的坐标，由直线A₁B₁的方程可得B₁的坐标；
（Ⅱ）由等腰直角三角形的知识可得x_n+y_n=x_n+1-y_n+1，由点在曲线上代入可得y_n+1-y_n=2，进而可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知xn=

y 2 n

2

=2n2，可得a_n=x_n+y_n=2n（n+1），由列项法易得

n

i=1

bi，由等比数列的求和公式可得

n

i=1

ci，由题意可得n的不等式，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵△B₀A₁B₁是以A₁为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B₀A₁的方程为y=x．
由

y=x y2=2x y＞0

得x₁=y₁=2，即A₁（2，2），∴直线A₁B₁的方程为y-2=-（x-2），
令y=0，可解得x=4，故B₁（4，0）…（3分）
（Ⅱ）根据△B_n-1A_nB_n和△B_nA_n+1B_n+1分别是以A_n和A_n+1为直角顶点的等腰直角三角形
可得

an=xn+yn an=xn+1-yn+1

，即x_n+y_n=x_n+1-y_n+1．（*）…．…..（5分）
∵A_n和A_n+1均在曲线C：y²=2x（y≥0）上，
∴

y

2 n

=2xn，

y

2 n+1

=2xn+1，
∴xn=

y 2 n

2

，xn+1=

y 2 n+1

2

，代入（*）式得

y

2 n+1

-

y

2 n

=2(yn+1+yn)，
∴y_n+1-y_n=2（n∈N^*）．…..…..…．…..（7分）
∴数列{y_n}是以y₁=2为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为y_n=2n（n∈N^*）． …..（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，xn=

y 2 n

2

=2n2，…．…（9分）
∴a_n=x_n+y_n=2n（n+1），…..…．…（10分）
∴bi=

4

2i(i+1)

=

2

i(i+1)

，ci=(

2

)-yi=

1

2i

，
∴

n

i=1

bi=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)，…．…..（11分）
而

n

i=1

ci=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．   …．…（12分）
欲使

n

i=1

bi＜

n

i=1

ci，只需2(1-

1

n+1

)＜1-

1

2n

，
只需

n-1

n+1

＜-

1

2n

，…．…（13分）
∵

n-1

n+1

≥0(n∈N*)，-

1

2n

＜0，
∴不存在正整数N，使n≥N时，

n

i=1

bi＜

n

i=1

ci成立．…．（14分）

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及数列的求和问题，属难题．