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    甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望
    ：（Ⅰ）（Ⅱ）
    ：设分别表示甲、乙在第k次投篮中，则
    （Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知


    （Ⅱ）的所有可能值为1，2，3。
    由独立性知


    综上知，有分布列
          1       2      3
    P               
    从而， （次）
    【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题12分）为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙）进行经典美文颂读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．
    求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
    （2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
    （1）两种大树各成活1株的概率；
    （2）成活的株数的分布列与期望．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.
    （I）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
    （II）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.
    （1）试求和； 
    （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种
    产品受欢迎的概率分别为，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

    （Ⅰ）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
    （Ⅱ）求的值；
    （Ⅲ）求数学期望.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
        视觉     
    		视觉记忆能力
    偏低
    		中等
    		偏高
    		超常
    听觉
    记忆
    能力
    		偏低
    		0
    		7
    		5
    		1
    中等
    		1
    		8
    		3

    偏高
    		2

    		0
    		1
    超常
    		0
    		2
    		1
    		1
    由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．
    （I）试确定、的值；
    （II）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
    （III）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
    （Ⅰ）求直方图中的值；
    （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
    （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本小题满分12分）盒子内有大小相同的9个球,其中2个红色小球,3个白色小球,4个黑色小球,规定取出1红色小球得到1分, 取出1白色小球得到0分, 取出1个黑色小球得到-1分,现从盒子中任取3个小球。
    (Ⅰ)求取出的3个球颜色互不相同的概率;
    (Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率;
    (Ⅲ)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列及数学期望.

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