Question

19．若函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且对于任意的x都有f（x）＞0，且当x＜0时f（x）＞1．
（1）求证：f（x）为R上的减函数；
（2）当f（4）=$\frac{1}{16}$时，若f（x²-3x+2）≤$\frac{1}{4}$，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R，有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，从而确定f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（2）由f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，不等式可变形为f（x²-3x+2）≤f（2）即x²-3x≥0，从而求解．

解答 （1）证明：令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R
有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1
故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，又f（x）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）为R上的减函数； …（6分）
（2）f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，…（8分）
则原不等式可变形为f（x²-3x+2）≤f（2）
即x²-3x≥0------------（10分）
解得：x≥3或x≤0------------（12分）

点评 以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，及利用单调性解不等式问题．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中寻找到证明问题的关键点出来．属于中档题．