Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=-log_a（1-x）．
（1）当0＜a＜1时，解不等式：f（x）+g（x）≥0；
（2）当a＞1，x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当0＜a＜1时，不等式：f（x）+g（x）≥0化为log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，利用对数的运算性质可得：loga

x+1

1-x

≥0，0＜

x+1

1-x

≤1，解出即可；
（2）2f（x）+g（x）=loga

(x+1)2

1-x

，当a＞1，x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）当0＜a＜1时，不等式：f（x）+g（x）≥0化为log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0；
∴loga

x+1

1-x

≥0，∴0＜

x+1

1-x

≤1，x+1＞0，1-x＞0，解得-1＜x≤0．
∴不等式的解集为{x|-1＜x≤0}．
（2）2f（x）+g（x）=loga(x+1)2-loga(1-x)=loga

(x+1)2

1-x

，
当a＞1，x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤(loga

(x+1)2

1-x

)min，x∈[0，1）．
令h（x）=

(x+1)2

1-x

=1-x+

4

1-x

-4，x∈[0，1）．
∴h′（x）=-1+

4

(1-x)2

=

-(x-3)(x+2)

(1-x)2

＞0，
∴函数h（x）在x∈[0，1）单调递增，∴当x=0时，函数h（x）取得最小值1．
∴m≤log_a1=0．
∴实数m的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查了对数的运算性质、不等式的解法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．