Question

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M(2，

2 5

5

)，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

Answer 1

分析：（1）将点M代入C_2，可求C_{2的方程；利用}抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F，求C₁的标准方程；
（2）是（1）的一般情形，先设M(x0，

1

2p

x0 2 )，再求出C₂在点M处的切线方程，从而构建p关于a的函数表达式，注意a的取值范围．

解答：解：（1）把M(2，

2 5

5

)代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=

5

，故C₂：x2=2

5

y…（2分）
由y=

5

10

x2得y′=

5

5

x，从而C₂在点M处的切线方程为y-

2 5

5

=

2 5

5

(x-2)…（4分）
令y=0有x=1，F（1，0），…（5分）
又M在(2，

2 5

5

)椭圆C₁上
所以

4 a2 + 4 5b2 =1 a2-b2=1

，解得a²=5，b²=4，故C₁：

x2

5

+

y2

4

=1…（7分）
（2）设M(x0，

1

2p

x0 2)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，
从而C₂在点M处的切线方程为y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)…（9分）
设F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因为

x02

a2

+

y02

b2

=1，所以y02=b2(1-

x02

a2

)=b2(1-

4c2

a2

)=

b2

a2

(4b2-3a2)…（11分）
又x₀²=2py₀，所以p=

x 02

2y0

=

2c2

b a 4b2-3a2

=

2a(a2-b2)

b 4b2-3a2

=

2a(a2-1)

4-3a2

，…（13分）
结合a＞b知1＜a＜

2 3

3

，所以p=f（a）=

2a(a2-1)

4-3a2

（1＜a＜

2 3

3

）．…（14分）

点评：函数与方程思想是研究已知量和未知量之间的等量关系，通过设未知数，建立各变量之间的固有函数关系，列出方程（或方程组等）综合解决问题．