Question

13．已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，等腰直角三角形PQR的三个顶点P、R、Q分别在AB、BC、AC三条边上运动，且∠PRQ=90°，则S_△PQR的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 过Q作QD⊥BC交BC于点D，记BR=x，可求QD=BR=x，CD=x，CQ=$\sqrt{2}x$，BC=BR+RD+RC=RD+2x=4，解得范围：0＜x＜2，由RQ²=RD²+DQ²可将RQ²表示成x的二次函数，利用二次函数的性质及三角形面积公式即可得解．

解答 解：过Q作QD⊥BC交BC于点D，易证△BPR≌△RQD，记BR=x，则QD=BR=x，
又∵△QDC为等腰直角三角形，
∴CD=x，CQ=$\sqrt{2}x$．
∴BC=BR+RD+RC=RD+2x=4，∴RD=4-2x＞0，
∴0＜x＜2，
∴RQ²=RD²+DQ²=x²+（4-2x）²=5x²-16x+16，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$RQ²=$\frac{1}{2}$（5x²-16x+16）=$\frac{5}{2}$×[（x-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{16}{25}$]≥$\frac{5}{2}×\frac{16}{25}$=$\frac{8}{5}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，综合性较强，属于中档题．