Question

16．若适合不等式|x²-4x+k|+|x-3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为8．

Answer 1

分析 原不等式等价于|x²-4x+k|-x+3≤5，设 x²-5x+k-2=0 的根分别为x₁和x₂，x₁＜x₂，x²-3x+k+2=0的根分别为x₃和 x₄，x₃＜x₄．则分x₂=3 和 x₄=3 两种情况，分别求得k的值．

解答 解：因为x的最大值为3，故x-3＜0，
原不等式等价于|x²-4x+k|-x+3≤5，
即-x-2≤x²-4x+k≤x+2，
则 x²-5x+k-2≤0且x²-3x+k+2≥0解的最大值为3，
设 x²-5x+k-2=0 的根分别为x₁和x₂，x₁＜x₂，
x²-3x+k+2=0的根分别为x₃和 x₄，x₃＜x₄．
则x₂=3，或 x₄=3．
若x₂=3，则9-15+k-2=0，k=8，
若x₄=3，则9-9+k+2=0，k=-2．
当k=-2时，原不等式无解，
检验得：k=8 符合题意，
故答案为：8．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．