Question

16．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB上一点，N是A₁C的中点，MN⊥平面A₁DC，求证：
（1）MN∥AD₁；
（2）M是AB的中点．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，由MN⊥CD，NO⊥CD，可证CD⊥平面MNO，可证AB⊥OM，OM∥AD，又N在BD₁上且为中点，从而可证MN∥AD₁；
（2）由（1）可知，N是BD₁的中点，MN∥AD₁，即可得证M是AB的中点．

解答 证明：（1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，
∵MN⊥平面A₁DC，CD?平面A₁DC，
∴MN⊥CD，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N是A₁C的中点，O是AC的中点，
∴NO⊥CD，
∵MN∩NO=N，
∴CD⊥平面MNO，
∴CD⊥OM，CD∥AB
∴AB⊥OM，
∴OM∥AD，
又∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N是A₁C的中点，
∴N在BD₁上，且为中点，
∴△AD₁B中，MN∥AD₁；
（2）∵由（1）可知，N是BD₁的中点，MN∥AD₁；
∴M是AB的中点．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，作出恰当的辅助线是解题的关键，属于中档题．