Question

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.

（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

Answer 1

(1)证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题以正三角形为几何背景，考查四点共圆问题以及相似三角形问题，考查学生的转化与化归的能力.第一问，利用已知条件中边的比例关系可得出结论，再利用三角形相似，得出，所以，所以可证四点共圆；第二问，根据所给正三角形的边长为2，利用已知的比例关系，得出各个小边的长度，从而得出为正三角形，所以得出，所以是所在圆的圆心，而是半径，即为.
试题解析：(Ⅰ)证明:∵,   ∴,
∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴,
即,所以四点共圆.               5分
(Ⅱ)解:如图,

取的中点,连接,则,
∵, ∴,
∵,, ∴为正三角形,
∴,即,
所以点是外接圆的圆心,且圆的半径为.
由于四点共圆,即四点共圆,其半径为.           10分