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5.设x>0,f(x)=eax-x
(I)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=1时,证明:f(x)>$\frac{{x}^{2}}{2}$+1;
(Ⅲ)若ex=1+x+$\frac{1}{2}$x2ey,证明:0<y<x.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,判断函数的单调性即可;
(Ⅱ)构造函数g(x),通过计算发现g(0)=0,只需证明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,根据函数的单调性证明即可;
(Ⅲ)结合(Ⅱ)的结论分别证明y>0和y<x即可.

解答 解:(Ⅰ)∵x>0,f(x)=eax-x,
∴f′(x)=aeax-1,
①a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)递减;
②0<a<1时,ln$\frac{1}{a}$>0,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$,
令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$)递减,在($\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$,+∞)递增;
③a≥1时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增.
(Ⅱ)a=1时,f(x)=ex-x,
令g(x)=ex-x-$\frac{1}{2}$x2-1,(x>0),
g′(x)=ex-1-x,g″(x)=ex-1>0,
故g′(x)在(0,+∞)递增,
故g′(x)>g′(0)=0,
∴g(x)在(0,+∞)递增,
∴g(x)>g(0)=0,
故f(x)>$\frac{{x}^{2}}{2}$+1.
(Ⅲ)若ex=1+x+$\frac{1}{2}$x2ey
由(Ⅱ)得:1+x+$\frac{1}{2}$x2ey-x>$\frac{1}{2}$x2+1,
∴$\frac{1}{2}$x2(ey-1)>0,
∴ey>1=e0
∴y>0,
由ex=1+x+$\frac{1}{2}$x2ey
得:ey=$\frac{2{(e}^{x}-x-1)}{{x}^{2}}$,
∴y=ln$\frac{2{(e}^{x}-x-1)}{{x}^{2}}$,
∴y-x=ln$\frac{2{(e}^{x}-x-1)}{{x}^{2}}$-x=ln[2(e2-x-1)-lnx2-x<ln[2($\frac{1}{2}$x2+1-1)-lnx2-x=lnx2-lnx2-x=-x<0,
∴y-x<0,即y<x,
综上,0<y<x.

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用、函数恒成立问题以及不等式的证明,是一道综合题.

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