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如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n，P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为（x_n，y_n）， $数学公式$
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）证明 $数学公式$ ；
（Ⅲ）若记b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，证明{b_n}是等比数列．

解：（Ⅰ）因为 $\text{[math]}$ ，
所以a₁=a₂=a₃=2，又由题意可知 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴{a_n}为常数列
∴a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）将等式 $\text{[math]}$ 两边除以2，得 $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
分析：（Ⅰ）由题意可知 $\text{[math]}$ ，由此可推导出a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）将等式 $\text{[math]}$ 两边除以2，得 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，知{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的灵活运用．

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