Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）＜6，即|2x﹣1|+|2x+3|＜6，
即 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴﹣2＜x＜1，
所以不等式f（x）＜6的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
（Ⅱ）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，
则有{y|y=f（x）}{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x﹣1|+2≥2，从而|a+3|≥2，
解得a≤﹣5或a≥﹣1，
故a∈（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为{y|y=f（x）}{y|y=g（x）}，分别求出f（x），g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．