Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)．
（1）当

m

∥

n

时，求

sinx+cosx

3sinx-2cosx

的值；
（2）设函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

，求f（x）的单调增区间；
（3）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，

3

c=2asin（A+B），对于（2）中的函数f（x），求f（B+

π

8

）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的条件，可得3sinx=-cosx，代入，即可得到结论；
（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；
（3）求出A的值，确定B的范围，化简函数，可得函数的值域．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)，

m

∥

n

∴3sinx=-cosx，
∴

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

sinx-3sinx

3sinx+6sinx

=-

2

9

；
（2）函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）=sin²x+sinxcosx-2
=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-2=

2

sin（2x-

π

4

）-

3

2

由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）；
（3）∵

3

c=2asin（A+B），
∴

3

sinC=2sinAsinC，
∴sinA=

3

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵△ABC为锐角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

f（B+

π

8

）=

2

2

sin[2（B+

π

8

）-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜2B＜π
∴0＜sin2B≤1
∴-

3

2

＜f（B+

π

8

）≤

2

2

-

3

2

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．