Question

[理]已知函数f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

Answer 1

分析：（1）先由f（1）=0得出a，b的关系式，再求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，根据若函数f（x）在其定义域内为单调函数得到：在（0，+∞）内f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．最后对a分类讨论即可求出a的取值范围．
（2）先由题意求得f′（

1

an-n+1

）．对于关于自然数n的命题：a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，常用数学归纳法证明，

解答：解：（1）因为f（1）=a-b=0，所以a=b，
所以f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
所以f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
则在（0，+∞）内f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．
当a=0时，则f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立；适合题意．
当a＞0时，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

≥0恒成立，则a-

1

a

≥0，解得a≥1；
当a＜0时，由f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

＜0恒成立，适合题意．
所以a的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）根据题意得：f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
所以f′（x）=（

1

x

-1）²，
于是a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a₁=4=2×1+2，
当n=2时，a₂=9＞2×2+2；
假设当n=k（k≥2且k∈N^*）时，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
则当n=k+1时，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N^*时，都有a_n≥2n+2．

点评：本小题主要考查用数学归纳法证明不等式、函数单调性的应用、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若：1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．