Question

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，且对任意x₁，x₂∈[1，a]（a＞1），当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．给出下列四个结论：
①f（a）＞f（0）
②f(

1+a

2

)＞f(

a

)
③f(

1-3a

1+a

)＞f(-3)
④f(

1-3a

1+a

)＞f(-a)
其中所有的正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），即函数是奇函数，由x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．得到函数在[1，a]上是增函数，然后利用奇偶性和单调性分别进行判断即可．

解答：解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函数是奇函数，
由x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．得到函数在[1，a]上是增函数．
∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∵a＞1，
∴f（a）＞f（0）成立，即①正确．
当a＞1时，

1+a

2

＞

2 a

2

=

a

，且函数在[1，a]上是增函数．
∴f(

1+a

2

)＞f(

a

)成立，即②正确．

1-3a

1+a

-(-3)=

4

1+a

＞0，
∴

1-3a

1+a

＞-3，则0＜

3a-1

1+a

＜3，但无法确定3，

3a-1

1+a

是否在单调递增区间[1，a]上，
∴f（3）和f（

3a-1

1+a

）无法比较大小，∴③不成立．

1-3a

1+a

-(-a)=

(a-1)2

1+a

＞0，
∴

1-3a

1+a

＞-a，即a＞

3a-1

1+a

=3-

4

a+1

≥1，
∴f（a）＞f(

3a-1

1+a

)成立，∵f（x）是奇函数，
∴-f（a）＜-f（

3a-1

1+a

），
即f(

1-3a

1+a

)＞f(-a)成立，∴④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查函数性质的应用，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．