Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

3

2

a_n-3
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n＞ca_n（c为常数）对任意n∈N^* 都成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的前n项和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）根据已知条件：Sn=

3

2

an-3①
则：Sn-1=

3

2

an-1-3②
①-②得：an=

3

2

an-

3

2

an-1
整理得：

an

an-1

=3（常数）
当n=1时，求得：a₁=6
所以：an=6•3n-1
（2）若S_n＞ca_n（c为常数）对任意n∈N^* 都成立，
由于an=6•3n-1＞0
只需求出c＜(

Sn

an

)min即可．
由于Sn=

6(1-3n-1)

1-3

所以：c＜

3n-1-1

2

•3n-1
设x=3^n-1
则：

3n-1-1

2

•3n-1=

x2-x

2

所以：函数y=

x2-x

2

是对称轴为x=

1

4

，开口方向向上的抛物线．
由于n≥1，
所以：x≥1对函数y=

x2-x

2

来说是单调递增函数．
所以：y_min=0
即：c＜0

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，恒成立问题的应用．属于中等题型．