求圆C:(x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值.
【答案】
分析:画出直线与圆在同一坐标轴中的图象可知直线与圆相离,过圆心C作CD与已知直线垂直,垂足为D,与圆交于A与B两点,则|AD|、|BD|分别为圆上的点与直线距离的最大值与最小值,然后利用点到直线的距离公式求出C到已知直线的距离,加半径减半径即可求出|AD|与|BD|的值.
解答:解:由题意可知当直线AC与直线x-y+4=0垂直时,
垂足为D,且与圆交于A、B两点,此时圆上的点与直线x-y+4=0的最大值为|AD|,
最小值为|DB|,
由圆的方程可得圆心坐标为(1,-1),半径r=|AC|=|BC|=
,
而圆心C到直线x-y+4=0的距离d=|CD|=
=3
则圆上的点与直线x-y+4=0距离的最大值|AD|=|AC|+|CD|=
+3
=4
,
最小值|BD|=|CD|-|CB|=3
-
=2
.
点评:此题要求学生掌握直线与圆的位置关系,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,以及灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题,是一道中档题.