Question

已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求实数的最小值；
（Ⅲ）求证：（）.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ） 
（Ⅲ）先证，累加即得.

解析试题分析：（Ⅰ）将代入直线方程得，∴① 
，∴②  
联立，解得∴                                
（Ⅱ），∴在上恒成立；
即在恒成立；         
设，，
∴只需证对于任意的有                 

设，
1）当，即时，，∴
在单调递增，∴                 
2）当，即时，设是方程的两根且
由，可知，分析题意可知当时对任意有；
∴，∴                              
综上分析，实数的最小值为.                             
（Ⅲ）令，有即在恒成立；
令，得        

∴原不等式得证.  
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；不等式的证明．
点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．特别是（Ⅲ）的证明，用到了放缩法和裂项相消，此题属难度较大的题目．