Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+（n+1）n（n∈N⁺），
（1）令c_n=$\frac{a_n}{n}$，证明{c_n}是等差数列，并求a_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$，求数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求其通项公式后可得a_n；
（2）把（1）中求得的数列通项公式代入b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$，整理后利用裂项相消法求数列{b_n}前n项和S_n．

解答 （1）证明：由na_n+1=（n+1）a_n+（n+1）n，得
$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，又∵$\frac{{a}_{1}}{1}=1$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{n}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a_n}={n^2}$；
（2）解：∵b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S}_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．