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已知双曲线C与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦点,实半轴长为
3

(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+
2
与双曲线C有两个不同的交点A和B,且
OA
OB
>2
(其中O为原点),求k的取值范围.
分析:(1)设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,由已知易求a,c,根据a,b,c的平方关系即可求得b值;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由
OA
OB
>2
,可得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)
=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2
>2,联立方程组消掉y,根据韦达定理即可得到关于k的不等式,注意判别式大于0,解出即得k的范围.
解答:解:(1)设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

由题意知,a=
3
,c=2
,∴b2=c2-a2=1,解得b=1,
故双曲线方程为
x2
3
-y2=1

(2)将y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1
,得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0

1-3k2≠0
△>0
k2
1
3
,且k2<1,x1+x2=
6
2
k
1-3k2
x1x2=
-9
1-3k2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则由
OA
OB
>2

x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)
=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2>2
,得
1
3
k2<3

又k2<1,∴
1
3
k2<1
,解得k∈(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1)

所以k的取值范围为(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线标准方程的求解,考查向量数量积运算及韦达定理的应用,考查学生的运算能力及对问题转化能力.
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1
2
x
,且与椭圆x2+
y2
6
=1
有公共焦点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l:x-
2
y-2=0
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(2)若直线y=x与椭圆E交于M、N两点(M点在第一象限),P、Q是椭圆上不同于M的相异两点,点O为坐标原点,并且满足(+)·(-)=0.试求直线PQ的斜率.

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