Question

已知双曲线C与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦点，实半轴长为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

OA

•

OB

＞2，可得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2＞2，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围．

解答：解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a=

3

，c=2，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，
故双曲线方程为

x2

3

-y2=1．
（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1，得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0
由

1-3k2≠0 △＞0

得k2≠

1

3

，且k²＜1，x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

OA

•

OB

＞2，
得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2＞2，得

1

3

＜k2＜3．
又k²＜1，∴

1

3

＜k2＜1，解得k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)，
所以k的取值范围为（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线标准方程的求解，考查向量数量积运算及韦达定理的应用，考查学生的运算能力及对问题转化能力．