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    已知关于x的不等式x+
    1x
    ≥7-a    在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为
    5
    5
    ．
    分析：由题意只需x+
    1
    x
    的最小值≥7-a即可，由基本不等式可得其最小值，进而可得a的范围，即可得答案．
    解答：解：令f（x）=x+
    1
    x
    ，x∈（0，+∞），
    由基本不等式可得f（x）=x+
    1
    x
    ≥2
    		x•
    1
    x
    =2，
    当且仅当x=
    1
    x
    ，即x=1时，取等号，
    故f（x）=x+
    1
    x
    的最小值为2，
    故只需2≥7-a即可满足题意，
    解得a≥5，即实数a的最小值为5
    故答案为：5
    点评：本题考查基本不等式求最值，以及函数的恒成立问题，属基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0，解集为（1，2），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”有如下解法：
    解：由cx2-bx+a＞0且x≠0，所以
    (c×2-bx+a)
    x2
    ＞0得a（
    1
    x
    ）2-
    b
    x
    +c＞0，设
    1
    x
    =y，得ay2-by+c＞0，由已知得：1＜y＜2，即1＜
    1
    x
    ＜2，∴
    1
    2
    ＜x＜1所以不等式cx2-bx+a＞0的解集是（
    1
    2
    ，1）．
    参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式
    b
    (x+a)
    +
    (x+c)
    (x+d)
    ＜0的解集是：（-3，-1）∪（2，4），则不等式
    bx
    (ax-1)
    +
    (cx-1)
    (dx-1)
    ＜0的解集是
    (-
    1
    2
    ，-
    1
    4
    )∪(
    1
    3
    ，1)
    (-
    1
    2
    ，-
    1
    4
    )∪(
    1
    3
    ，1)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-5：不等式选讲
    已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜3a2-7a+4．
    （1）当a=2时，解上述不等式；
    （2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜23a2-7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）几何证明选讲：如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，AP与CB的延长线交于点P，若PA=8，PB=4，求AC的长度．
    （2）坐标系与参数方程：在极坐标系Ox中，已知曲线C1：ρcos(θ+
    π
    4
    )    =
    		2
    2
    与曲线C2；ρ=1相交于A、B两点，求线段AB的长度．
    （3）不等式选讲：解关于x的不等式|x-1|+a-2≤0（a∈R）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知关于x的不等式x+
    1x-a
    ≥7在x∈(a，+∞)    上恒成立，则实数a的最小值为
    5
    5
    ．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年河南省原名校高三下学期第二次联考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知关于x的不等式|x－3|+|x－4|< 3a2－7a+4．

    （1）当a=2时，解上述不等式；

    （2）如果关于x的不等式| x－3|+|x－4|< 23a2－7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

     

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