Question

定义Mf（x）=f（x+1）-f（x）为函数f（x）的边际函数，某企业每月最多生产100台报警器，已知每生产x台的收入函数为R（x）=3000x-20x²（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本的差．
（1）求利润函数P（x）及其边际函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）及其边际函数MP（x）是否有相等的最大值？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数．
（2）由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．

解答：解：（1）根据题意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
（2）∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴当x=62，63时
函数最大值为：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴当x=0时
函数最大值为：2480
P （x）与Mp（x）不具有相等的最大值，所以不一样．

点评：本题主考查函数模型的建立和应用，涉及了函数的最值，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．