Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h．
（Ⅰ）求侧面ABB₁ A₁与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G，根据二面角平面角的定义可知∠B₁PG为所求二面角的平面角，过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H，根据相对侧面与底面所成二面角的大小相等，得到四边形B₁PQC₁为等腰梯形，在三角形B₁PG中求出此角即可．
（Ⅱ）欲证EF∥面ABCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面ABCD内一直线平行即可，根据线面平行的判定定理可知AB∥面CDEF，而EF是面ABFE与面CDEF的交线，则AB∥EF，AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，满足定理所需条件．

解答：解：（Ⅰ）过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，
交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G．
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P．
∴∠B₁PG为所求二面角的平面角．
过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H．
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，
故四边形B₁PQC₁为等腰梯形．
∴PG=

1

2

(b-d)，
又B₁G=h，
∴tan∠B1PG=

2h

b-d

(b＞d)，
∴∠B1PG=arctan

2h

b-d

，
即所求二面角的大小为arctan

2h

b-d

．
（Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，
又CD是面ABCD与面CDEF的交线，
∴AB∥面CDEF．
∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，
∴AB∥EF．
∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD．

点评：本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查二面角的度量的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．