Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中[x]表示不超过x的最大整数．设n∈N* ， 定义函数fn（x）：f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n≥2），则下列说法正确的有 ①y= 的定义域为 ；
②设A={0，1，2}，B={x|f3（x）=x，x∈A}，则A=B；
③ ；
④若集合M={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，
则M中至少含有8个元素．（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当0≤x＜1时，f（x）=2（1﹣x）； 当1≤x≤2时，f（x）=x﹣1．
即有f（x）= ，
画出y=f（x）在[0，2]的图象．
对于①，可得f（x）≤x，当1≤x≤2时，x﹣1≤x成立；
当0≤x＜1时，2（1﹣x）≤x，解得 ≤x＜1，即有定义域为{x| ≤x≤2}，
故①正确；
对于②，当x=0时，f3（0）=f[f2（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
当x=1时，f3（1）=f[f2（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
当x=2时，f3（2）=f[f2（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正确；
对于③，f1（ ）=2（1﹣ ）= ，f2（ ）=f（f（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
f3（ ）=f（f2（ ））=f（ ）= ﹣1= ，f4（ ）=f（f3（ ））=f（ ）=2（1﹣ ）= ，
一般地，f4k+r（ ）=fr（ ）（k，r∈N）．
即有f2016（ ）+f2017（ ）=f4（ ）+f1（ ）= + = ，故③不正确；
对于④，由（1）知，f（ ）= ，∴fn（ ）= ，则f12（ ）= ，∴ ∈M．
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈M．
由（3）知，对x= 、 、 、 ，恒有f12（x）=x，∴ 、 、 、 ∈M．
综上所述 、0、1、2、 、 、 、 ∈M．
∴M中至少含有8个元素．故④正确．
故选：C．