Question

14．各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n． 对任意n∈N^*，$\overrightarrow{m_n}=（{a_{n+1}}-{a_n}，\;2{a_{n+1}}）$都是直线y=kx的法向量．若$\lim_{n→∞}{S_n}$存在，则实数k的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，对任意n∈N^*，$\overrightarrow{m_n}=（{a_{n+1}}-{a_n}，\;2{a_{n+1}}）$都是直线y=kx的法向量，则k=-$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{q}$，由此，即可求出实数k的取值范围．

解答 解：由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，
∵对任意n∈N^*，$\overrightarrow{m_n}=（{a_{n+1}}-{a_n}，\;2{a_{n+1}}）$都是直线y=kx的法向量，
∴k=-$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{q}$，
∴k∈（-∞，-1）∪（0，+∞），
故答案为（-∞，-1）∪（0，+∞）．

点评 本题考查数列的极限，考查向量知识的运用，属于中档题．