Question

（2012•吉安二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（I）求椭圆C的方程；
（II）∠PMQ能否为直角？证明你的结论；
（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M（-2，-1），离心率为

2

2

，建立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；
（III）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直线MP的方程与椭圆C的方程联立，求出x₁，x₂的值，利用斜率公式即可求得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题设，得

4

a2

+

1

b2

=1，①且

a2-b2

a

=

2

2

，②
由①、②解得a=6，b=3，
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）解：设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ
若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°
∴直线的斜率分别为1，-1
∴方程分别为y=x+1，y=-x-3
代入椭圆方程可得：3x²+4x-4=0，x²+4x+4=0
故可知y=-x-3与椭圆有且只有一个交点
所以∠PMQ不能直角；
（III）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
则-2，x₁是该方程的两根，∴-2x₁=

8k2-8k-4

1+2k2

，∴x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

．
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

．…（8分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+2)+k(x2+2)

x1-x2

=

k(x1+x2+4)

x1-x2

=

k( -4k2+4k+2 1+2k2 + -4k2-4k+2 1+2k2 +4)

-4k2+4k+2 1+2k2 - -4k2-4k+2 1+2k2

=1，
因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．