Question

9．如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=$\frac{π}{2}$，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；
（Ⅱ）求二面角O-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．说明MG∥OC，推出MG∥AB，得到BM∥AG，然后证明BM∥平面SOA．
（Ⅱ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角O-SC-B的余弦值．
解法二：（Ⅰ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，求出$\overrightarrow{BM}=（0，-1，\frac{1}{2}）$，求出平面SOA的一个法向量，利用$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$，推出BM∥平面SOA．
（Ⅱ）求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．
故MG∥OC，且$MG=\frac{1}{2}OC$，…（1分）
又由已知，AB∥OC，且$AB=\frac{1}{2}OC$，所以MG∥AB，且MG=AB，即四边形MGAB为平行四边形 …（2分）
故BM∥AG…（3分）
又因为BM?平面SOA，AG?平面SOA，…（4分）
所以BM∥平面SOA．…（5分）
（Ⅱ）由SO⊥平面OABC，$∠COA=\frac{π}{2}$，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS
所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（6分）
则O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），A（0，1，0）
因为OA⊥平面SOC，故$\overrightarrow{OA}=（0，1，0）$即为平面SOC的一个法向量，…（7分）
设平面SCB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．…（9分）
故$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{OA|}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（11分）
即二面角O-SC-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）
解法二：（Ⅰ）由SO⊥平面OABC，$∠COA=\frac{π}{2}$，故OS，OC，OA
两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz…（1分）
则$O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），M（1，0，\frac{1}{2}）$，故$\overrightarrow{BM}=（0，-1，\frac{1}{2}）$，…（2分）
因为OC⊥平面SOA，故$\overrightarrow{OC}=（2，0，0）$是平面SOA的一个法向量．…（3分）
因为$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0$，故$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{OC}$，…（4分）
而BM?平面SOA，所以BM∥平面SOA．…（5分）
（Ⅱ）因OA⊥平面SOC，故$\overrightarrow{OA}=（0，1，0）$即为平面SOC的一个法向量 …（7分）
设平面SCB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．…（9分）
故$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OA}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{OA|}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（11分）
即二面角O-SC-B的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面镜的求法，考查直线与平面平行的判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力．