Question

已知向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

，代入向量数理积公式，求出函数的解析式，根据ω及A值，可确定函数的最小周期及最值；
（2）根据x∈[-π，0]，我们可以根据（1）中函数解析式求出相位角的范围，进而根据正弦型函数的单调性，得到答案．
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，我们可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），
∴f（x）=

a

•

b

=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx=-3

2

sin（x+

π

4

）+1
则函数f（x）的最小正周期T=2π，
函数f（x）的最大值为3

2

+1，最小值为-3

2

+1，
（2）∵x∈[-π，0]，
∴x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]
则函数f（x）的单调增区间为[-

3π

4

，-

π

2

]
（3）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，x+

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]
f（x）∈[-3

2

+1，-2]
若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立
则m-1＜-3

2

+1，且m+1＞-2
∴-3＜m＜-3

2

+2

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，函数恒成立问题，平面向量数量积的运算，三角函数的性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的性质，根据已知条件求出函数的解析式是解答本题的关键．