Question

7．数列满足a₀=$\frac{1}{3}$，及对于自然数n，a_n+1=a_n²+a_n，则$\sum_{n=0}^{2015}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整数部分是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过对a_n+1=a_n²+a_n变形可知$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\sum_{n=0}^{2015}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=（$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$）
=$\frac{1}{{a}_{0}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
=3-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的求和，对表达式的灵活变形及裂项是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．