Question

数列{a_n}首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项均为正，从第7项开始变为负的：
（1）求此等差数列的公差d；
（2）设前n项和为S_n，求S_n的最大值；
（3）当S_n是正数时，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}首项为23，前6项均为正，从第7项开始变为负，可得a₆＞0，a₇＜0，从而求出d的值；
（2）根据d＜0判断{a_n}是递减数列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6时，S_n取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式，根据S_n是正数列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）∵数列{a_n}首项为23，前6项均为正，从第7项开始变为负
∴a₆=a₁+5d=23+5d＞0，a₇=a₁+6d=23+6d＜0，
解得：-

23

5

＜d＜-

23

6

，
又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{a_n}是递减数列，
∵a₆＞0，a₇＜0
∴当n=6时，Sn取得最大值，S₆=6×23+

6×5

2

×(-4)=78
（3）S_n=23n+

n(n-1)

2

×（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜

25

2

，又n∈N^*，
∴n的最大值为12．

点评：本题以等差数列为载体，考查等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式．正确运用等差数列通项及前n项和公式，是解题的关键．