Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠aabc=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的正切值．

Answer 1

解：（1）在Rt△B₁C₁D中，∠B₁C₁D=90°，B₁C₁=1，C₁D=CC₁=1
∴B₁D=，同理BD=，
在△B₁DB中，∵B₁D²+BD²=B₁B²，
∴∠B₁DB=90°
即B₁D⊥BD
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，
∴AB⊥平面BB₁C₁C，而B₁D?平面BB₁C₁C，
∴B₁D⊥AB
又∵AB∩D=B
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）由（Ⅰ）知BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，平面AB₁D∩平面BB₁C₁C=B₁D
∴∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=1，BD=
∴tan∠ADB==
∴∠ADB=arctan
即平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为arctan
分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点，我们易由勾股定理及直棱柱的结构特征得到B₁D⊥BD，B₁D⊥AB，由线面垂直的判定定理，即可得到B₁D⊥平面ABD．
（2）由（1）中结论，可得BD⊥B₁D，AD⊥B₁D，结合二面角的定义，可得∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角，解Rt△ABD，即可得到平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角的大小．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得B₁D⊥BD，B₁D⊥AB，（2）的发是证得∠ADB就是平面AB₁D与侧面BB₁C₁C的成角的平面角．