Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）导函数在x=2处为零求a，是必要不充分条件故要注意检验
（Ⅱ）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范围也是必要不充分条件注意检验

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³-3x²+3ax²-6x=ax²（x+3）-3x（x+2）．
当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤

6

5

．
反之，当a≤

6

5

时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤

6

5

x2(x+3)-3x(x+2)=

3x

5

(2x2+x-10)=

3x

5

(2x+5)(x-2)≤0，
而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．
综上，a的取值范围为(-∞，

6

5

]．

点评：极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．