在如图所示的几何体中,四边形均为全等的直角梯形,且,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明过程详见解析;(Ⅱ).
解析试题分析:本题考查线面平行的判定以及二面角的求法.线面平行的判断:①判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;②性质:如果两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面;③性质:如果两条平行线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面或在这个平面内;④性质:如果一条直线平行于两个平行平面中的一个,那么这条直线也平行于另一个平面或在这个平面内;⑤性质:如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行.第一问是利用线面平行的判定定理证明;第二问建立空间直角坐标系是关键,利用向量法得到平面的一个法向量为,和平面的一个法向量为,再利用夹角公式求夹角的余弦,但是需判断夹角是锐角还是钝角,进一步判断余弦值的正负.
试题解析:(Ⅰ)连结,由题意,可知,
故四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,
所以平面. 5分
(Ⅱ)由题意,两两垂直,
以为轴,为轴建立空间直角坐标系.
设,则,,,.
设平面的一个法向量为,
则,,
又,,
所以,取.
同理,得平面的一个法向量为.
因为,又二面角为钝角,
所以二面角的余弦值. 12分
考点:1.线面平行的判断定理;2.向量法解题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直角梯形,是边上的中点(如图甲),,,,将沿折到的位置,使,点在上,且(如图乙)
(Ⅰ)求证:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值
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