Question

已知f（x）=ax³-bx²+cx在区间[0，1]上是减函数，在区间（-∞，0]，[1，+∞）上是增函数，又f′（2）=12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]．（m＞0）上恒有f（x）≤5x成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件可知函数在x=1和x=0处取得极值，以及f′（2）=12，联立方程解的a，b，c．
（2）解不等式f（x）≤5x，从而确定m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²-2bx+c，
由已知f'（0）=f'（1）=0，
即

c=0 3a-2b+c=0

解得

c=0 b= 3 2 a

所以f'（x）=3ax²-3ax，因为f'（2）=12a-6a=6a=12，所以a=2，
所以f（x）=2x³-3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤5x，即2x³-3x²-5x≤0，
所以（2x-5）（x+1）≤0，解得x≤-1或0≤x≤

5

2

．
又f（x）≤5x在区间[0，m]上恒成立，所以0＜m≤

5

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性以及极值问题．由条件可知函数在x=1和x=0处取得极值，是解决本题的关键．