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已知数列{an}的首项a1=1,且对任意n∈N*,且an与an+1恰为方程x2-bnx+2n=0的两根.
(1)求数列{bn}的通项公式
(2)求数列{bn}的前n项和Sn
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由于an与an+1恰为方程x2-bnx+2n=0的两根.可得an+an+1=bn,an•an+1=2n,可得
an+2
an
=2.a2=2.于是数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列;
即a2n-1=2n-1,a2n=2n
(2)分奇数与偶数讨论即可得出.
解答: 解:(1)∵an与an+1恰为方程x2-bnx+2n=0的两根.
∴an+an+1=bn,an•an+1=2n
an+2an+1
anan+1
=
2n+1
2n
=2,a1•a2=2,
an+2
an
=2.a2=2.
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列;
∴a2n-1=2n-1,a2n=2n
∴当n为奇数2k-1(k∈N*)时,bn=2k-1+2k=3×2k-1
当n为偶数2k(k∈N*)时,bn=2k+2k=2k+1
∴bn=
2k-1,n=2k-1
2k+1,n=2k
(k∈N*).
(2)当n为奇数2k-1(k∈N*)时,Sn=3(1+2+…+2k-1)+(22+23+…+2k-1
=
2k-1
2-1
+
4(2k-2-1)
2-1

=5×2k-7.
当n为偶数2k(k∈N*)时,Sn=5×2k-7+2k+1=7×2k-7.
点评:本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次方程的根与系数的关系,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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