Question

【题目】如图，已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；

（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）见解析.

【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD上即可得到结论.

解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）因为点N为△F1AF2的内心，

所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.

则＝＝＝＝.

（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，

此时AE与BD交于F2G的中点(，0)，

下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).

设直线l的方程为y＝k(x－1)，

化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，

直线AE的方程为y－y2＝ (x－4)，

令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝

＝

＝

＝

＝

＝＝＝0，

所以点T(，0)在直线AE上，

同理可证，点T(，0)在直线BD上.

所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).