Question

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
①对任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x）
②当x∈（0，1]时，f（x）=x，试解决下列问题：
（Ⅰ）求在x∈（2，4]时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上有实数解，求实数m的取值范围；

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x+1）=-f（x）可求得f（x+2）=-f（x），进而根据x∈（0，1]时，f（x）的解析式求得x∈（2，3]时和x∈（3，4]的解析式，最后综合可求得在x∈（2，4]时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的实数解为x₀，利用（Ⅰ）中函数的解析式，建立不等式组，进而求得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵对任意x∈R，都有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
又x∈（0，1]时，∴f（x）=x
∴当x∈（2，3]时，x-2∈（0，1]，f（x）=f（x-2）=x-2
当x∈（3，4]时，x-1∈（2，3]，f（x）=-f（x-1）=-[（x-1）-2]=3-x
∴x∈（2，4]时，f（x）=

x-2，2＜x≤3 3-x，3＜x≤4

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+m在（2，4]上的实数解为x₀
则

x0-2=2x0+m 2＜x0≤3

或

3-x0=2x0+m 3＜x0≤4

∴

x0=-2-m 2＜x0≤3

或

x0=1- m 3 3＜x0≤4

∴-5≤m＜-4或-9≤m＜-6

点评：本题主要考查了函数的周期性．考查了学生综合分析问题和基本的推理能力．