Question

12．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=7，∠CBA=120°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，则AC₁的长等于（　　）

• A． 83
• B． $\sqrt{83}$
• C． 98$+56\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{98+56\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 由平行六面体的性质得$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，由此能求出AC₁的长．

解答 解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=7，∠CBA=120°，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$²=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$）²
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=25+9+49+2×5×3×cos60°+2×5×7×cos45°+2×3×7×cos45°
=25+9+49+15+35$\sqrt{2}$+21$\sqrt{2}$
=98+56$\sqrt{2}$，
∴AC₁的长|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{98+56\sqrt{2}}$．
故选：D．

点评 本题考查平行六面体中线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法定理的合理运用．