【题目】已知函数.
(1)若关于的方程有两个不同的实数根,求证:;
(2)若存在使得成立,求实数的取值范围.(其中为自然对数的底数,)
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是矩形, 垂直于底面, ,点为线段(不含端点)上一点.
(1)当是线段的中点时,求与平面所成角的正弦值;
(2)已知二面角的正弦值为,求的值.
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【题目】如图,天津之眼,全称天津永乐桥摩天轮,是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一 .永乐桥分上下两层,上层桥面预留了一个长方形开口,供摩天轮轮盘穿过,摩天轮的直径为110米,外挂装48个透明座舱,在电力的驱动下逆时针匀速旋转,转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点,当点到达最高点时,距离下层桥面的高度为113米,点在最低点处开始计时.
(1)试确定在时刻 (单位:分钟)时点距离下层桥面的高度 (单位:米);
(2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟,问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米?
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【题目】某公司的电子新产品未上市时,原定每件售价100元,经过市场调研发现,该电子新产品市场潜力很大,该公司决定从第一周开始销售时,该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元,5周后开始保持120元的价格平稳销售,10周后由于市场竞争日益激烈,每周降价2元,直到15周结束,该产品不再销售.
(Ⅰ)求售价(单位:元)与周次()之间的函数关系式;
(Ⅱ)若此电子产品的单件成本(单位:元)与周次之间的关系式为,,,试问:此电子产品第几周的单件销售利润(销售利润售价成本)最大?
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【题目】如图,在棱长为1的正方体中,点P在线段上运动,给出以下四个命题:
①异面直线与所成的角为定值;
②二面角的大小为定值;
③三棱锥的体积为定值;
其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,E、F分别为PC、BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若EF⊥PC,求证:平面PAB⊥平面PCD.
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【题目】平面四边形中, , 为等边三角形,现将沿翻折得到四面体,点分别为的中点.
(Ⅰ)求证:四边形为矩形;
(Ⅱ)当平面平面时,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】下面四个命题:
①在定义域上单调递增;
②若锐角,满足,则;
③是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若,则;
④函数的一个对称中心是;
其中真命题的序号为______.
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